大学线代知识点总结

线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。以下是“大学线代知识点总结”希望能够帮助的到您！

01、余子式与代数余子式 a11a12a13（1）设三阶行列式D＝a21a22a23，则

a31a32a33①元素a11，a12，a13的余子式分别为：M11＝

a22a23a32a33，M12＝

a21a23a31a33，M13＝

a22a23a32a33a21a22a31a32

对M11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式行列式即元素a11的余子式M11。其他元素的余子式以此类推。

②元素a11，a12，a13的代数余子式分别为：A11＝(－1)1＋1M11 ，A12＝(－1)1＋2M12 ， A13＝(－1)1＋3M13 . 对Aij的解释（i表示第i行，j表示第j列）：Aij＝(－1)i＋j M ij . （N阶行列式以此类推）

（2）填空题求余子式和代数余子式时，最好写原式。比如说，作业P1第1题：

M31＝

0403，A31＝(-1)3+1

0403

（3）例题：课本P8、课本P21-27、作业P1第1题、作业P1第3题

02、主对角线 一个n阶方阵的主对角线，是所有第k行第k列元素的全体，k=1, 2, 3? n，即从左上到右下 的一条斜线。与之相对应的称为副对角线或次对角线，即从右上到左下的一条斜线。

03、转置行列式

即元素aij与元素aji的位置对调（i表示第i行，j表示第j列），比如说，a12与a21的位置对调、a35与a53的位置对调。

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04、行列式的性质 详见课本P5-8（性质1.1.1~ 1.1.7） 其中，性质1.1.7可以归纳为这个：

? A ，i＝k，ai1Ak1＋ai2Ak2＋ ? ＋ainAkn＝ ? （i表示第i行，k表示第k列）

? 0 ，i?k熟练掌握行列式的性质，可以迅速的简化行列式，方便计算。 例题：作业P1第2题

05、计算行列式 （1）计算二阶行列式

a11a12a21a22a11a12a21a22：

①方法（首选）：

a11a12a21a22＝a11a22－a12a21（即，左上角×右下角－右上角×左下角）

②方法：＝a11A11＋a12A12＝a11a22－a12a21

例题：课本P14

a11a12a13（2）计算三阶行列式a21a22a23：

a31a32a33a11a12a13a21a22a23＝a11A11＋a12A12＋a13A13＝a11(－1)1＋1M11 ＋a12(－1)1＋2M12 ＋a13(－1)1＋3M13 a31a32a33N阶行列式的计算以此类推。通常先利用行列式的性质对行列式进行转化，0元素较多时方便计算.（r是row，即行。c是column，即列）

例题：课本P5、课本P9、课本P14、作业P1第4题、作业P2第3小题

（3）n阶上三角行列式（0元素全在左下角）与n阶下三角行列式（0元素全在右上角）：

D＝a11a22?ann（主对角线上元素的乘积） 例题：课本P10、作业P3第4小题

有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”转化成上三角行列式 例题：课本P11

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（4）范德蒙行列式：详见课本P12-13

（5）有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”提取出“公因式”，得到

元素全为1的一行，方便化简行列式。 例题：作业P2第1小题、作业P2第2小题

06、矩阵中未写出的元素 课本P48下面有注明，矩阵中未写出的元素都为0

07、几类特殊的方阵 详见课本P30-32

（1）上（下）三角矩阵：类似上（下）三角行列式 （2）对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其他元素都为0 （3）数量矩阵：主对角线上的元素都相同 （4）零矩阵：所有元素都为0，记作O

（5）单位矩阵：主对角线上的元素都为1，其他元素全为0，记作E或En （其行列式的值为1）

08、矩阵的运算规则 （1）矩阵的加法（同型的矩阵才能相加减，同型，即矩阵A的行数与矩阵B的行数相同；

矩阵A的列数与矩阵B的列数也相同）： ①课本P32“A＋B”、“A－B” ②加法交换律：A＋B＝B＋A

③加法结合律：A＋（B＋C）＝（A＋B）＋C （2）矩阵的乘法（基本规则详见课本P34阴影）：

①数与矩阵的乘法： I.课本P33“kA”

II.kA＝knA（因为kA只等于用数k乘以矩阵A的一行或一列后得到的矩阵的行列式） ②同阶矩阵相乘（高中理科数学选修矩阵基础）：

?a11a12??b11b12??a11b11?a12b21a11b12?a12b22???a21a22??×??b21b22??＝??a21b11?a22b21a21b12?a22b22?? ???????AB?描述：令左边的矩阵为①，令右边的矩阵为②，令计算得到的矩阵为??CD??，则

??

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A的值为：①中第1行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素，并将它们相加。

即A＝a11×b11＋a12×b21

B的值为：①中第1行的每个元素分别乘以②中第2列的每个元素，并将它们相加。

即B＝a11×b12＋a12×b22

C的值为：①中第2行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素，并将它们相加。

即C＝a21×b11＋a22×b21

D的值为：①中第2行的每个元素分别乘以②中第2列的每个元素，并将它们相加。

即D＝a21×b12＋a22×b22.

?a11a12a13??b11b12b13??a11b11?a12b21?a13b31a11b12?a12b22?a13b32a11b13?a12b23?a13b33???????a21a22a23b21b22b23a21b11?a22b21?a23b31a21b12?a22b22?a23b32a21b13?a22b23?a23b33×＝?????? ?a31a32a33??b31b32b33??a31b11?a32b21?a33b31a31b12?a32b22?a33b32a31b13?a32b23?a33b33????????A?描述：令左边的矩阵为①，令右边的矩阵为②，令计算得到的矩阵为?D?G?BEHC??F?，则 I??A的值为：①中第1行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素，并将它们相加。

即A＝a11×b11＋a12×b21＋a13×b31

B、C、D、E、F、G、H、I的值的求法与A类似。

③数乘结合律：k（lA）＝（kl）A ，（kA）B＝A（kB）＝k（AB） ④数乘分配律：（k＋l）A＝kA＋lA ，k（A＋B）＝kA＋kB ⑤乘法结合律：（AB）C＝A（BC）

⑥乘法分配律：A（B＋C）＝AB＋AC ，（A＋B）C＝AC＋BC ⑦需注意的：

I.课本P34例题两个不等于零的矩阵的乘积可以是零矩阵 II.课本P34例题数乘的消去律、交换律不成立

III.一般来讲，（AB）k ≠ A k B k，因为矩阵乘法不满足交换律

IV.课本P40习题第2题：（A＋B）2不一定等于A2＋2AB＋B2 ，（A＋B）2不一定等于A2＋2AB＋B2，（A＋B）（A－B）不一定等于A2－B2 . 当AB＝BA时，以上三个等式均成立 （3）矩阵的转置运算规律：

① (AT )T＝A ② (A±B)T＝A T±B T ③ (kA)T＝kAT ④ (AB)T＝B TAT

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