有关一种新花样躲2倍的数学故事

小明和小亮两个人玩扑克牌，又发明一种新花样，叫做二倍二倍快躲开。

从一副扑克牌里，每人各拿出12张：A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q各一张，小明全拿黑桃，小亮全拿红桃。A算1点，J算 11点，Q算12点。这样，每人就都拥有一套从1点到12点的牌，拿红牌的是红方，拿黑牌的是黑方。

玩的时候，每人把自己的12张牌打乱顺序，背朝上，排在自己面前。两个人轮流翻牌。如果自己翻出的牌里，任何两张的点数都没有二倍关系，就是成功的，可以继续翻牌，也可以停止翻牌，做成一组成功的牌。谁翻的牌里最先出现二倍关系，谁就输掉了这一盘。

例如，在两人都翻开4张后，战局如图1。

这时小亮的牌里，10是5的二倍，小亮输了。

如果两个人各自做成一组成功的牌，就比谁的点数大，点数大的人胜利。如果点数相等，就成为平局。

又如，有一次，两人都翻开3张以后，得到图2所示的战局。

这时小明停止翻牌，做成了一组，点数是

9+8+10=27。

小亮赶紧也算一算自己的点数：

8+10+7=25。

如果小亮也停止翻牌，就比小明少2点，输定了。若是再翻一张牌呢，如果翻到4，那么在翻出的牌里，8是4的二倍，就输了;如果翻到5，那么10 是5的二倍，也输了。但是翻到其他牌都会增加分数，可能超过对手。

有成功的机会，就该试一试。于是小亮再翻一张牌，结果翻到的是3，成功!点数增加为

25+3=28，超过小明的27，赢了这一盘。

有一次两个人越翻越起劲，都翻出了8张。局面是这样的。

小明：2，3，5，7，8，9，11，12;

小亮：1，3，4，7，9，10，11，12。

这时两个人的牌里都没有二倍关系，都是成功的。算一算点数，得到

小明：2+3+5+7+8+9+11+12=57;

小亮：1+3+4+7+9+10+11+12=57。

两人的分数相等。小明停止翻牌，小亮也停止翻牌，握手言和。

为什么两个人都小心翼翼，不再翻牌呢?难道不想取胜吗?

原来，玩这种二倍二倍快躲开的游戏，有一个规律：最多只可能翻出8张成功的牌。如果冒险翻第9张牌，就怎么也躲不开二倍关系，必输无疑。这是在数学里已经证明了的，因为这种扑克游戏来源于一道数学竞赛题。这是小学数学奥林匹克邀请赛的一道初赛试题，是填空题，原题如下：

从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多能选出____个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍。

答案是8个数。

从上面小明和小亮的牌局里，已经看到能选出8个数的两组实例。为什么选9个就一定出现二倍关系呢?

首先考虑那些肯定不会有二倍关系的数。它们是：7，9，11。

这3个数可以全部选出来。

其次，有两个数组成一对二倍关系的小圈子，它们是：(5，10)。

所以，在5和10这两个数里，可以选出1个，也只能选出1个。

再其次，有3个数组成两对二倍关系，它们是：

(3，6)，(6，12)。

所以，在3个数3、6、12中，至多可以选出两个数3和12。

最后，还剩下4个数，它们组成二倍关系的连环套：

(1，2)，(2，4)，(4，8)。

所以，在4个数1、2、4、8中，至多可以选出两个数，或者是1和4，或者是2和8，或者是1和8。

总而言之，不含二倍关系，至多可选出的个数是

3+1+2+2=8(个)。

这正是问题所需要的答案。同时也确定了全部不含二倍关系的8数组，它们是：

①7，9，11;3，12;5;1，4。

②7，9，11;3，12;5;2，8。

③7，9，11;3，12;5;1，8。

④7，9，11;3，12;10;1，4。

⑤7，9，11;3，12;10;2，8。

⑥7，9，11;3，12;10;1，8。

其中第⑤组各数的和最大，和是62。可见在扑克游戏二倍二倍快躲开里，胜利者能取得的最高点数是62。

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