函数的极值与导数教学设计

一、目标

知识与技能：理解极大值、极小值的概念； 能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 掌握求可导函数的极值的步骤；

过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

二、重点难点

教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.

教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.

三、教学过程：

函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．我们以导数为工具，对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便．

四、学情分析

我们的学生属于平行分班，学生已有的知识和实验水平有差距。需要教师指导并借助动画给予直观的认识。

五、教学方法

发现式、启发式

新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习

六、课前准备

1．学生的学习准备：

2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

七、课时安排：1课时

八、教学过程

(一)预习检查、总结疑惑

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

提问

（二）情景导入、展示目标。

设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。

1、有关概念

(1).极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点

(2).极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点

(3).极大值与极小值统称为极值

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：

（4）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是大或小；并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

（5）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个

（6）极大值与极小值之间

无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如上图所示， 是极大值点， 是极小值点，而 >

（7）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点

2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:

若 满足 ，且在 的两侧 的导数异号，则 是 的极值点， 是极值，并且如果 在 两侧满足“左正右负”，则 是 的极大值点， 是极大值；如果 在 两侧满足“左负右正”，则 是 的极小值点， 是极小值

3. 求可导函数f(x)的极值的步骤:

(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)

(2)求方程f′(x)=0的驻点（一阶导数为0的x的值）

(3)检查 f′(x)=0的驻点左右的符号；如果左正右负，那么f(x)在这个驻点处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个驻点处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个驻点处无极值

（三）合作探究、精讲点拨。

例1．（课本例4）求 的极值

解： 因为 ，所以 。

令 ，得

下面分两种情况讨论：

（1）当 >0,即 ，或 时；（2）当<0,即 时.

当x变化时， ， 的变化情况如下表：

?2(-2,2)2

+0－0+

?极大值

?极小值

因此， = ；

函数 的图像如图所示。

例2求y=(x2－1)3+1的极值

解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2, 令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1

当x变化时，y′，y的变化情况如下表

-1(-1,0)0(0,1)1

－0－0+0+

?无极值?极小值0?无极值?

∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0

例3 设 ，在 和 处有极值，且 =－1,求 ， ， 的值，并求出相应的值。

解： ，∵ 是函数的极值点，则－1,1是方程 的根，即有 ? ，又 ，则有 ，由上述三个方程可知 ， ， ，此时，函数的表达式为 ，∴ ，令 ，得 ，当 变化时， ， 的变化情况表：

-1(-1,1)1

+0－0+

?极大值1?极小值

－1?

由上表可知， ，

（学生上黑板解答）

多媒体展示探究思考题。

在学生分组实验的过程中教师巡回观察指导。 (课堂实录)

（四）反思总结，当堂检测。

教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。

设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）

（五）发导学案、布置预习。

设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。

九、板书设计

极大值:

极大值点:

极小值:

极小值点：

极值：

十、教学反思

本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。

在后面的教学过程中会继续研究本节课，争取设计的更科学，更有利于学生的学习，也希望大家提出宝贵意见，共同完善，共同进步!

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