三角形教学设计

在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a, b, c分别表示它们所对的各边长， 为半周长。

1．正弦定理： =2R（R为△ABC外接圆半径）。

推论1：△ABC的面积为S△ABC=

推论2：在△ABC中，有bcsC+ccsB=a.

推论3：在△ABC中，A+B= ，解a满足 ，则a=A.

正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以S△ABC= ；再证推论2，因为B+C= -A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcsC+csBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcsC+ccsB=a；再证推论3，由正弦定理 ，所以 ，即sinasin( -A)=sin( -a)sinA，等价于 [cs( -A+a)-cs( -A-a)]= [cs( -a+A)-cs( -a-A)]，等价于cs( -A+a)=cs( -a+A)，因为0< -A+a， -a+A< . 所以只有 -A+a= -a+A，所以a=A，得证。

2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccsA ，下面用余弦定理证明几个常用的结论。

（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD2= （1）

【证明】 因为c2=AB2=AD2+BD2-2ADBDcs ，

所以c2=AD2+p2-2ADpcs ①

同理b2=AD2+q2-2ADqcs ， ②

因为 ADB+ ADC= ，

所以cs ADB+cs ADC=0，

所以q×①+p×②得

qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2=

注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式

（2）海伦公式：因为 b2c2sin2A= b2c2 (1-cs2A)= b2c2 [(b+c) -a2][a2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c).

这里

所以S△ABC=

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